Question

如图直角梯形OABC中，∠COA=∠AOB=90°，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，分别以OC，OA，OS为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz．
（Ⅰ）求

SC

与

OB

夹角的余弦值；
（Ⅱ）求OC与平面SBC夹角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角S-BC-O．

Answer 1

（Ⅰ）如图所示：C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）．
∴

SC

=（2，0，-1），

OB

=（1，1，0），
∴cos＜

SC

，

OB

＞=

2

5 • 2

=

10

5

．
∴

SC

与

OB

夹角的余弦值为

10

5

．…（3分）
（Ⅱ）设平面SBC的法向量

n

=（1，p，q），
∵

SC

=（2，0，-1），

CB

=（-1，1，0），
∴

2-q=0 -1+p=0

，∴

p=1 q=2

，
∴

n

=（1，1，2），…（6分）
又∵

OC

=（2，0，0），
∴cos＜

n

，

OC

＞=

n • OC

| n || OC |

=

2

6 ×2

=

6

6

∴OC与平面SBC夹角的正弦值为

6

6

；…（8分）
（Ⅲ）∵SO⊥平面OABC，∴

OS

=（0，0，1）为平面OABC的法向量．
又∵平面SBC的法向量

n

=（1，1，2），
∴cos＜

n

，

OS

＞=

n • OS

| n || OS |

=

2

6

=

6

3

．
∴二面角S-BC-O的余弦值为

6

3

．…（12分）