Question

18．已知a，b，c分别为锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，且acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0．
（1）求A的大小；
（2）若a=$\sqrt{3}$，求△ABC面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式，利用三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合A的范围，利用正弦函数的性质即可求A的值．
（2）利用正弦定理可求2R=$\frac{a}{sinA}$的值，利用三角函数恒等变换的应用化简可得bc=2sin（2B-$\frac{π}{6}$）+1，结合范围B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），由正弦函数的性质可求bc的范围，由三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，
由正弦定理得：sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC，
即sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sin（A+C）+sinC，可得：$\sqrt{3}$sinAsinC=cosAsinC+sinC，
由于C为三角形内角，sinC≠0，
所以化简得$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，
所以sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，…3分
因为A∈（0，$\frac{π}{2}$），
所以A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），
所以A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，即A=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）∵2R=$\frac{a}{sinA}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，…（7分）
∴bc=2RsinB•2RsinC=4sinBsin（B+$\frac{π}{3}$）=2sin（2B-$\frac{π}{6}$）+1，…9分
∵△ABC是锐角三角形，
∴B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），
∴sin（2B-$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，可得：bc∈（2，3]，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$]，…（11分）
∴△ABC的面积的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$]…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质，考查了三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用，属于中档题．