Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=

3

，AA1=

6

，M为侧棱CC₁上一点，AM⊥A₁C
（Ⅰ）求异面直线A₁B与AC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：AM⊥平面A₁BC；
（Ⅲ）求二面角M-AB-C的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）说明∠BA₁C₁是异面直线A₁B与AC所成的角，解三角形求异面直线A₁B与AC所成角的余弦值；
（Ⅱ）要证AM⊥平面A₁BC，只需证明直线AM垂直平面A₁BC内的两条相交直线A₁C、BC即可；
（Ⅲ）在三角形ABC中，作AB边上的高CH，垂足为H，连接MH，说明∠MHC是二面角M-AB-C的平面角，通过解三角形求二面角M-AB-C的正切值．

解答：（Ⅰ）解：在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
AC∥A₁C₁∴∠BA₁C₁是异面直线A₁B
与AC所成的角（2分）
连接BC₁
∴CC₁⊥平面A₁B₁C₁
∴CC₁⊥A₁C₁
又∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°
即A₁C₁⊥B₁C₁
∴A₁C₁⊥平面BB₁C₁C
∴BC₁?平面BB₁C₁C
∴A₁C₁⊥BC₁
在直角三角形BCC₁中，BC=1，CC₁=AA₁=

6

，∴BC1=

BC2+C C 2 1

=

7

在直角三角形A₁BC₁中，A1C1=

3

，BC1=

7

∴A1B=

A1 C 2 1 +B C 2 1

=

10

，∴cosBA1C1=

A1C1

A1B

=

30

10

（4分）

（Ⅱ）证明：由（I）可知，BC⊥AC，BC⊥CC₁
∴BC⊥平面ACC₁A₁，又AM?平面ACC₁A₁，则BC⊥AM
∵AM⊥A₁C，∴AM⊥平面A₁BC
（Ⅲ）解：
在三角形ABC中，作AB边上的高CH，垂足为H，连接MH，
显然CH是MH在平面ABC上的射影
∴MH⊥AB
∴∠MHC是二面角M-AB-C的平面角
（11分）
∵AM⊥A₁C
∴∠MAC=∠AA₁C，则
tanMAC=tanAA₁C
即

AC

AA1

=

MC

AC

，又AA1=

6

，AC=

3

∴MC=

6

2

又CH=

3

2

，故在直角三角形MCH中，tanMHC=

MC

CH

=

6 2

3 2

=

2

（13分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，异面直线的夹角的求法，考查学生逻辑思维能力，计算能力，是中档题．