Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是有一个角为60°的菱形，AA₁=AB，从顶点中取出三个能构成不同直角三角形的个数有（　　）个．

A．48

B．40

C．24

D．16

Answer 1

分析：由题意可得，这3个顶点必须在直四棱柱的4个侧面内，或在2个互相垂直的对角面ACC₁A₁和 BDD₁B₁内，故有6C₄³ 个．

解答：解：在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是有一个角为60°的菱形，AA₁=AB，
故在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的4个侧面都是正方形，对角面ACC₁A₁和 BDD₁B₁ 中一个是矩形，另一个是正方形．
直四棱柱的上下底面和其它的对角面不是矩形．
而每个正方形的4个顶点中任意三点的连线都构成直角三角形，共有5C₄³=20个．
矩形的4个顶点中任意取3个点的连线也都构成直角三角形，共有C₄³=4个．
根据分类计数原理，构成不同直角三角形的个数有 5C₄³+C₄³=24个，
故选：C．

点评：本题主要考组合及两个基本原理，组合数公式的应用，体现了分类讨论的数学思想．