Question

有下列四个命题：
（1）函数f(x)=

1

lgx

在（0，1）∪（1，+∞）上是减函数；
（2）不等式：arcsinx≤arccosx的解集为[

2

2

，1]；
（3）已知数列{a_n}的前n项和为S_n=1-（-1）ⁿ，n∈N^*，则数列{a_n}一定是等比数列；
（4）过点M（2，4）作抛物线y²=8x的切线，则切线方程可以表示为：y=x+2．
则正确命题的序号为

（3）（4）

．

Answer 1

分析：根据函数的单调性是一个局部性质，结合函数单调区间的确定方法可以判断（1）的真假；根据反正弦函数和么余弦函数的图象，我们可以求出arcsinx≤arccosx的解集，进而判断出（2）的真假；根据数列{a_n}的前n项和为S_n=1-（-1）ⁿ，n∈N^*，我们易求出数列{a_n}的通项公式，进而判断出（3）的真假；设出切线方程，然后代入抛物线方程，根据直线与抛物线相切，联立所得的方程只有一解，可根据△=0，求出k值，进而确定切线的方程，判断出（4）的真假．

解答：解：函数f(x)=

1

lgx

在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是减函数，但在（0，1）∪（1，+∞）上不具备单调性，故（1）错误；
不等式：arcsinx≤arccosx的解集为[-1，

2

2

]，故（2）错误；
∵数列{a_n}的前n项和为S_n=1-（-1）ⁿ，n∈N^*，数列a_n=2•（-1）^n-1，故数列{a_n}一定是等比数列，故（3）正确；
设过点M（2，4）的抛物线y²=8x的切线为y=k（x-2）+4，联立方程可解得k=0（舍去）或k=1，则切线方程为：y=x+2，故（4）正确；
故答案为：（3）（4）

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数单调性的判断与证明，反三角函数的图象和性质，等比数列的确定，直线和圆锥直线的关系，其中（1）中易忽略函数单调性为局部性，而误判为正确．