Question

已知函数f(x)=

1-2x

1+2x

．
（1）试确定f（x）的奇偶性；
（2）求证：函数f（x）在R上是减函数；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于函数的定义域为R，关于原点对称，且花简求得f（-x）=-f（x），由此可得函数f（x）为奇函数．
（2）化简函数f（x） 的解析式为

2

2x+1

-1，设x₁＜x₂，化简f（x₁）-f（x₂）=

2(2x2- 2x1)

( 2x1+1)(2x2+1)

＞0，可得函数f（x）在R上是减函数．
（3）由于f（x）为奇函数，不等式即 f（t²-2t）＜f（k-2t²） 恒成立．再由函数f（x）在R上是减函数可得 t²-2t＞k-2t² 恒成立，即 3 t²-2t-k＞0恒成立．
由判别式△＜0，解得k的取值范围．

解答：解：（1）由于函数f(x)=

1-2x

1+2x

的定义域为R，关于原点对称，且有f（-x）=

1-2-x

1+2-x

=

2x-1

2x+1

=-

1-2x

2x+1

=-f（x），故函数f（x）为奇函数．
（2）∵f（x）=

2-(1+2x)

1+2x

=

2

2x+1

-1，设x₁＜x₂，再由f（x₁）-f（x₂）=（

2

2x1+1

-1）-（

2

2x2+1

-1）=

2(2x2- 2x1)

( 2x1+1)(2x2+1)

＞0，
可得f（x₁）＞f（x₂），故函数f（x）在R上是减函数．
（3）∵对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，f（x）为奇函数，∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²） 恒成立．
再由函数f（x）在R上是减函数可得 t²-2t＞k-2t² 恒成立，即 3 t²-2t-k＞0恒成立．
∴△=4+12k＜0，解得k＜-

1

3

，
故k的取值范围为（-∞，-

1

3

）．

点评：本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用，二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于中档题．