Question

8．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2-{x}^{2}}，-\sqrt{2}≤x≤1}\\{\frac{1}{x}，1＜x≤e}\end{array}\right.$，则${∫}_{-\sqrt{2}}^{e}$f（x）dx等于（　　）

• A． $\frac{3π+6}{4}$
• B． $\frac{3π+4}{4}$
• C． π+1
• D． $\frac{3π+3}{2}$

Answer 1

分析 先根据分步积分得到${∫}_{-\sqrt{2}}^{e}$f（x）dx=${∫}_{1}^{e}$$\frac{1}{x}$dx+${∫}_{-\sqrt{2}}^{1}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$，再根据定积分的几何意义求出${∫}_{-\sqrt{2}}^{1}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$，问题得以解决．

解答 解：${∫}_{-\sqrt{2}}^{e}$f（x）dx=${∫}_{1}^{e}$$\frac{1}{x}$dx+${∫}_{-\sqrt{2}}^{1}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$，
其中${∫}_{-\sqrt{2}}^{1}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$，表示如图所示的阴影部分的面积，
∵0C=$\sqrt{2}$，OA=1，
∴AC=1，∠C0A=$\frac{π}{4}$，
∴∠BOC=$\frac{3π}{4}$
∴S阴影=S_扇形BOC+S_△OAC=$\frac{1}{2}$×$\frac{3π}{4}$×（$\sqrt{2}$）²+$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{3π}{4}$+$\frac{1}{2}$，
∴${∫}_{-\sqrt{2}}^{e}$f（x）dx=lnx|${\;}_{1}^{e}$+$\frac{3π}{4}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3π+6}{4}$，
故选：A

点评 本题考查了的定积分的计算和定积分的几何意义，以及分步积分，属于中档题．