Question

已知椭圆C：(a＞b＞0)，其焦距为2c，若(≈0.618)，则称椭圆C为“黄金椭圆”．

(1)求证：在黄金椭圆C：(a＞b＞0)中，a、b、c成等比数列．

(2)黄金椭圆C：(a＞b＞0)的右焦点为F₂(c，0)，P为椭圆C上的

任意一点．是否存在过点F₂、P的直线l，使l与y轴的交点R满足？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．

(3)在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F₁(－c，0)、F₂(c，0)，以A(－a，0)、B(a，0)、D(0，－b)、E(0，b)为顶点的菱形ADBE的内切圆过焦点F₁、F₂．

试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：由及，得，故a、b、c成等比数列．(4分) 　　(2)解：由题设，显然直线l垂直于x轴时不合题意，设直线l的方程为， 　　得，又，及，得点的坐标为，(6分) 　　因为点在椭圆上，所以，又，得，，故存在满足题意的直线，其斜率．(10分) 　　(3)黄金双曲线的定义：已知双曲线：，其焦距为，若(或写成)，则称双曲线为“黄金双曲线”．(12分) 　　在黄金双曲线中有真命题：已知黄金双曲线：的左、右焦点分别是、，以、、、为顶点的菱形的内切圆过顶点、．(14分) 　　证明：直线的方程为，原点到该直线的距离为，将代入，得，又将代入，化简得，故直线与圆相切，同理可证直线、、均与圆相切，即以、为直径的圆为菱形的内切圆，命题得证．(16分)