Question

【题目】已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0）
令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1 ， x2函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．
．
①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．
②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x= ，
∵x ，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增； 时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴x= 是函数g（x）的极大值点，则 ＞0，即 ＞0，
∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即 ．
故当0＜a＜ 时，g（x）=0有两个根x1 ， x2 ， 且x1＜ ＜x2 ， 又g（1）=1﹣2a＞0，
∴x1＜1＜ ＜x2 ， 从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1 ， x2）上递增，在区间（x2 ， +∞）上递减．
∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣ ．
故选：D．
先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1 ， x2函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．