Question

点P到点A（1，0）和直线x=-1的距离相等，且点P到直线y=x的距离等于，这样的点P的个数为    ．

Answer 1

【答案】分析：P的轨迹是以F为焦点的抛物线，并且轨迹方程为y²=4x．利用直线与平稳性的位置关系求出其切线方程为y=x+1，得到两条平行直线y=x，y=x+1之间的距离为：．又根据题意可得：抛物线与直线y=x相交，进而得到点P到直线y=x的距离等于的点有3个．
解答：解：因为点P到点A（1，0）和直线x=-1的距离相等，
所以由抛物线的定义知：P的轨迹是以F为焦点的抛物线，并且p=1，
所以点P的方程为y²=4x．
设直线y=x+b与抛物线y²=4x相切，则联立直线与抛物线的方程可得：x²+2（b-2）x+b²=0，
所以△=4（b-2）²4b²=0，解得：b=1．
所以切线方程为y=x+1，所以两条平行直线y=x，y=x+1之间的距离为：．
又根据题意可得：抛物线与直线y=x相交，
所以P到直线y=x的距离等于的点有3个．
故答案为3．
点评：本题考查抛物线定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，并且也考查了两条平行线之间的距离公式，解题时要认真审题，仔细解答．