Question

【题目】已知是满足下述条件的所有函数组成的集合：对于函数定义域内的任意两个自变量、,均有成立.

(1)已知定义域为的函数,求实数、的取值范围；

(2)设定义域为的函数,且,求正实数的取值范围；

(3)已知函数的定义域为,求证：.

Answer 1

【答案】(1)，；(2)；(3)证明见解析.

【解析】

(1)根据题意得到不等式,通过不等式可以求出实数、的取值范围；

(2)求出时, 正实数的取值范围,然后根据补集思想,求出正实数的取值范围即可；

(3)设,利用分子有理化,绝对值不等式的性质，可以证明出

,这样就可以证明出.

(1)因为定义域为的函数,所以均有

成立,即

,显然,因此，；

(2) 设定义域为的函数,且,所以均有

成立,即

,

设,即在上恒成立,

,因此有：

,因此当时, 正实数的取值范围为：；

(3) 设

,

所以有,显然

也成立.