Question

【题目】如图在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，且圆C与y轴交于M,N两点（点N在点M的上方），直线与圆C交于A，B两点。

（1）若，求实数k的值。

（2）设直线AM，直线BN的斜率分别为，若存在常数使得恒成立？若存在，求出a的值.若不存在请说明理由。

（3）若直线AM与直线BN相较于点P，求证点P在一条定直线上。

Answer 1

【答案】（1）.

（2）存在实数，使得恒成立；理由见解析.

（3）证明见解析.

【解析】分析：（1）先设出直线的方程，利用圆中的特殊三角形：弦心距，半弦长和圆的半径构成直角三角形，勾股定理求得结果；

（2）先假设存在，利用题的条件，得到其相关的式子，求得对应的值，得到结果；

（3）根据题意，得到点所满足的条件，从而求得结果.

详解：（1）∵圆： ∴圆心，半径

∵直线与圆相交于，两点，且

∴圆心到的距离为 ∴，解得：

∵ ∴

（2）∵圆与轴交于，两点（点在点上方）

∴ ∴，设

直线与圆方程联立：，化简得：

∴，同理可求：

∵三点共线，且，

∴，化简得：

∵ ∴，即

∴存在实数，使得恒成立．

（3）设 ∴ 且 ∴

由（2）知：，代入得：为定值

∴点在定直线上．