Question

15．对于数列{a_n}，定义数列{△a_n}满足：△a_n=a_n+1-a_n，（n∈N^*），定义数列{△²a_n}满足：△²a_n=△a_n+1-△a_n，（n∈N^*），若数列{△²a_n}中各项均为1，且a₂₁=a₂₀₁₂=0，则a₁=20110．．

Answer 1

分析 通过分析易知数列{△a_n}是首项为△a₁、公差为1的等差数列，进而△a_n=△a₁+（n-1），利用叠加法可知a_n=a₁+$\sum_{k=1}^{n-1}$△a_k=a₁+（n-1）△a₁+$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$，利用a₂₁=a₂₀₁₂=0可知21、2012是方程a_n=0的两个根即a_n=$\frac{1}{2}$（n-21）（n-2012），令n=1计算即得结论．

解答 解：∵数列{△²a_n}中各项均为1，
∴△a_n+1-△a_n=1，
∴数列{△a_n}是首项为△a₁、公差为1的等差数列，
∴△a_n=△a₁+（n-1），
又∵△a_n=a_n+1-a_n，（n∈N^*），
∴a_n-a_n-1=△a_n-1，
a_n-1-a_n-2=△a_n-2，
…
a₂-a₁=△a₁，
累加得：a_n=a₁+$\sum_{k=1}^{n-1}$△a_k
=a₁+（n-1）△a₁+$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$，
这说明a_n是关于n的二次函数，且二次项系数为$\frac{1}{2}$，
∵a₂₁=a₂₀₁₂=0，
∴21、2012是方程a_n=0的两个根，
∴a_n=$\frac{1}{2}$（n-21）（n-2012），
∴a₁=$\frac{1}{2}•$（1-21）•（1-2012）=20110，
故答案为：20110．

点评 本题考查学生阅读能力和知识方法的理解迁移能力，等差数列的定义，注意解题方法的积累，属于中档题．