Question

设f(x)是定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数且在（-∞,0）上为增函数.

（1）若m·n＜0,m+n≤0,求证：f(m)+f(n)≤0;

(2)若f(1)=0,解关于x的不等式f(x²-2x-2)＞0.

Answer 1

（1）证明见解析(2) 不等式的解集为（-∞，-1）∪（1-，1-）∪（1+，1+）∪（3，+∞）

解析:

（1）证明  ∵m·n＜0,m+n≤0，∴m、n一正一负.

不妨设m＞0,n＜0,则n≤-m＜0.取n=-m＜0,

∵函数f(x)在（-∞,0）上为增函数，

则f(n)=f(-m)；取n＜-m＜0，同理

f(n)＜f(-m)∴f(n)≤f（-m）.

又函数f(x)在（-∞,0）∪(0,+∞)上为奇函数，

∴f(-m)=-f(m).∴f(n)+f(m)≤0.

（2）解  ∵f（1）=0，f(x)在（-∞,0）∪(0,+∞)上为奇函数，∴f(-1)=0，

∴原不等式可化为或.

易证：f(x)在（0,+∞）上为增函数.

∴或.

∴x²-2x-3＞0或.

解得x＞3或x＜-1或.

∴不等式的解集为（-∞，-1）∪（1-，1-）∪（1+，1+）∪（3，+∞）.