Question

已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的右准线l的方程为x＝，短轴长为2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过定点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于P，Q（异于A₁，A₂）两点，设直线PA₁与直线QA₂相交于点M（2x₀，y₀）．

①试用x₀，y₀表示点P，Q的坐标；

②求证：点M始终在一条定直线上．

Answer 1

已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的右准线l的方程为x＝，短轴长为2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过定点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于P，Q（异于A₁，A₂）两点，设直线PA₁与直线QA₂相交于点M（2x₀，y₀）．

①试用x₀，y₀表示点P，Q的坐标；

②求证：点M始终在一条定直线上．

解（1）由         ……（2分）

得                  …………（4分）

∴椭圆C的方程为                    ……………………（6分）

（2）①A₁（－2，0），A₂（2，0），

方程为MA₁的方程为：，      ……………………（7分）

即．代入，

得，即．

∴=，      

则=．

即P（，）．            ……………………（10分）

同理MA₂的方程为，即．代入，

得，即．

∴=．

则=．

即Q（，）．         ……………………（12分）

②∵P，Q，B三点共线，∴，即．……………………（13分）

∴．

即．

由题意，，∴．

．

∴．则或．……………………（14分）

若，即，则P，Q，M为同一点，不合题意…………（15分）

∴，点M始终在定直线上．                  ……………………（16分）