Question

已知函数，（＞0，，以点为切点作函数图象的切线，记函数图象与三条直线所围成的区域面积为．
（1）求；
（2）求证：＜；
（3）设为数列的前项和，求证：＜．来

Answer 1

（1）；（2）详见试题分析；（3）详见试题分析．

试题分析：（1）先对求导，根据切点坐标及导数的几何意义，求出切线的斜率，写出切线的方程，最后利用定积分计算图象与三条直线所围成的区域面积，可求得数列的通项公式；（2）构造函数（≥0），求导可得，从而函数（≥0）单调递减，故，从而证得当＞0时，＜成立，故＜，∴=＜；（3）由（2）：＜，由放缩法得＜，再结合裂项相消法即可证明来＜．
试题解析：（1）易知，切点为，则方程为
即，∴=
（2）构造函数（≥0），则，即函数，（≥0）单调递减，而，∴，等号在时取得，∴当＞0时，＜成立，∴知＜，∴=＜．
（3）＜＜，∴当时，=＜；当时，＜＜．
方法二：
（1）（2）同方法一；
（3）由（2）知＜，


（），

，又，，∴综上所述：对一切，都有＜．