Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AD⊥BC，D为垂足，以AD为折痕，将△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，如图所示，有下列结论：①BD⊥CD；②BD⊥AC；③AD⊥面BCD；④△ABC是等边三角形；其中正确的结论的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据在折叠后，AD与BD、CD的垂直性不变来判断AD与平面BCD的垂直，判断③是否正确；
利用题设条件△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，来判断BD与CD的垂直关系，从而判断①的正确性；
利用三垂线定理，判断BD与AC的垂直关系，判断②是否正确；
再根据得到的垂直关系，计算△ABC的各边长，来判断△的形状，从而判断④是否正确

解答：解：∵将△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，∵AD⊥BD，AD⊥CD，∴∠SDC为二面角B-AD-C的平面角，∴BD⊥CD，①正确；
∵AD⊥BD，AD⊥CD，∴AD⊥平面BCD，CD是AC在平面BCD内的射影，由三垂线定理得BD⊥AC，∴②③正确；
∵D是中点，∴AD=BD=CD，设AD=1，由①得AC=AB=BC=

2

，故④正确．
故选D

点评：本题借助平面图形的折叠问题，考查空间直线与直线、直线与平面的垂直关系．常用平面几何知识、三垂线定理、线面垂直的性质、及线线的平行性质判定线线垂直．