Question

16．已知$\overrightarrow{OA}$=（2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{0}$，O为坐标原点，动点E满足：|$\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BA}$|+|$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}$|=6，求点E的轨迹C的方程．

Answer 1

分析 由已知向量的坐标和向量等式求出$\overrightarrow{OB}$的坐标，再由动点E满足：|$\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BA}$|+|$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}$|=6得到|$\overrightarrow{AE}$|+|$\overrightarrow{BE}$|=6，由此可知动点E的轨迹为椭圆，结合椭圆定义求得椭圆方程

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$=（2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OB}$=-$\overrightarrow{OA}$=（-2$\sqrt{2}$，0），
又动点E满足：|$\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BA}$|+|$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}$|=6即|$\overrightarrow{AE}$|+|$\overrightarrow{BE}$|=6．
∴动点E的轨迹为以B，A为焦点，6为长轴的椭圆，
由2a=6，a=3，c=2$\sqrt{2}$，
∴b²=a²-c²=9-8=1．
∴动点E的轨迹方程C：$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}$=1．

点评 本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了椭圆方程的求法，考查向量知识的运用，属于中档题．