Question

【题目】已知△ABC的直角顶点A在y轴上，点B（1，0），D为斜边BC的中点，且AD平行于x轴．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹为曲线Γ，直线BC与Γ的另一个交点为E，以CE为直径的圆交y轴于点M，N，记圆心为P，∠MPN=α，求α的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设C（x，y），则D（ ， ），A（0， ），

∴kAB=﹣ ，kAC= ，

∵AB⊥AC，

∴﹣ =﹣1，即y2=4x，

∴点C的轨迹方程是y2=4x

（2）解：①当直线BC无斜率时，直线BC的方程为x=1，此时C（1，2），E（1，﹣2），

P与B重合，M（0， ），N（0，﹣ ），∴∠MPN=120°；

②当直线BC有斜率时，设直线BC的方程为y=k（x﹣1），

代入y2=4x得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，

设C（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2= =2+ ，

∴|CE|=x1+x2+2=4+ ，∴圆P的半径r= |CE|=2+ ，

P到y轴的距离d= =1+ ，

∴cos = = =1﹣ ，

∵k2＞0，∴ ＜cos ＜1，

又0°＜ ＜90°，∴0°＜ ＜60°，

∴0°＜α＜120°．

综上，α的最大值为120°

【解析】（1）设C（x，y），用x，y表示出A点坐标，根据AB⊥AC列方程化简即可；（2）讨论BC的斜率，求出圆P的半径和横坐标，计算cos ，得出α的范围．