Question

已知函数
（1）若a=-4，求函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）记函数g（x）=x²f′（x），若g（x）的最小值是，求f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）将a=-4代入函数的解析式，先求函数的定义域，求出函数的导函数，分析导函数符号在不同区间上的取值，根据导函数符号与原函数的单调性之间的关系可得结论；
（2）函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥在[1，+∞）上恒成立，构造函数h（x）=并求出其最小值，可得实数a的取值范围；
（3）g（x）=x²f′（x）=2x³+ax-2的最小值是，由此构造关于a的方程，解方程求出a值，可得f（x）的解析式．
解答：解：（1）当a=-4时，，（x＞0）
==
令f′（x）=0，则x=
∵x∈（0，）时，f′（x）＜0，∵当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，
∴（0，）为函数的单调递减区间，
∴（，+∞）为函数的单调递增区间；
（2）∵f′（x）=
若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即2x³+ax-2≥0在[1，+∞）上恒成立
即a≥在[1，+∞）上恒成立
令h（x）=，则h′（x）=＜0恒成立
故h（x）=在[1，+∞）上单调递减
当x=1时，h（x）取最大值0
故a≥0，即实数a的取值范围为[0，+∞）
（3）g（x）=x²f′（x）=2x³+ax-2
则g′（x）=6x²+a，
当a≥0时，g′（x）≥0恒成立
此时g（x）在定义域（0，+∞）上无最小值
当a＜0时，令g′（x）=6x²+a=0
则x=
∵x∈（0，）时，f′（x）＜0，∵当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，
∴（0，）为函数g（x）的单调递减区间，
∴（，+∞）为函数g（x）的单调递增区间；
当x=时，g（x）的最小值g（）==，
解得a=-
∴
点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数解析式的求解及常用方法，其中熟练掌握导函数符号与原函数的单调性之间的关系，并又此分析函数的单调区间和极值点是解答的关键．