Question

17．已知数列{a_n}、{b_n}中，a₁=1，a_n+1=3a_n+2ⁿ（n∈N^*）．b_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，数列{b_n}前n项和为T_n．
（1）求证：{a_n+2ⁿ}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．
（3）证明：对一切正整数n，有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）a₁=1，a_n+1=3a_n+2ⁿ（n∈N^*），变形为a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），a₁+2=3，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由b_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得：T_n=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．不等式（-1）ⁿλ＜T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$化为：（-1）ⁿλ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，通过分类讨论利用数列的单调性即可得出．
（3）3ⁿ=（2+1）ⁿ=2ⁿ+${∁}_{n}^{1}$×2+${∁}_{n}^{2}×{2}^{2}$+…+1，可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{3}^{n}-{2}^{n}}$≤$\frac{1}{2{n}^{2}}$＜$\frac{1}{2（n-1）n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$（n≥2）．再利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．

解答 （1）证明：∵a₁=1，a_n+1=3a_n+2ⁿ（n∈N^*），∴a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），a₁+2=3．∴{a_n+2ⁿ}是等比数列，公比为3，首项为3．
∴a_n+2ⁿ=3ⁿ，∴a_n=3ⁿ-2ⁿ．
（2）解：∵b_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，∴数列{b_n}前n项和为T_n=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．
不等式（-1）ⁿλ＜T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$化为：（-1）ⁿλ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，
当n=2k-1（k∈N^*）时，化为：-λ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，∴-λ＜2，解得λ＞-2．
当n=2k（k∈N^*）时，化为：λ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，∴λ＜32．
∵不等式（-1）ⁿλ＜T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$对一切n∈N^*恒成立，∴-2＜λ＜3．
（3）证明：∵3ⁿ=（2+1）ⁿ=2ⁿ+${∁}_{n}^{1}$×2+${∁}_{n}^{2}×{2}^{2}$+…+1．
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{3}^{n}-{2}^{n}}$≤$\frac{1}{2{n}^{2}}$＜$\frac{1}{2（n-1）n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$（n≥2）．
∴对一切正整数n，有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜1+$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$=1+$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n}）$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$＜$\frac{3}{2}$．
∴对一切正整数n，有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式、“错位相减法”、“裂项求和”方法、数列的单调性、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．