试题分析:(1)

时,利用求导法则得到

的导函数,计算知

,即切线斜率为1,再得到

,从而通过直线的点斜式方程得到所求切线方程;(2)函数

在

上是减函数,即导函数

在

上是恒小于或等于0.

,在

上分母

恒为正,所以分子

,令

,则

为开口向上的二次函数.所以本题转化为二次函数在闭区间的最值问题.

,故两个可能的最大值

,得实数

的取值范围

;(3)对

求导,讨论

的范围,研究导数的正负从而确定

在

上的单调性,得到其最小值,由条件最小值是3得到

的值,注意此时还要判断

是否在所讨论的范围内,若不在则要予以舍去.
试题解析:(1)当

时,

1分

函数

在点

处的切线方程为

3分
(2)函数

在

上是减函数

在

上恒成立 4分
令

,有

得

6分

7分
(3)假设存在实数

,使

在

上的最小值是3

8分
当

时,

,

在

上单调递减,


(舍去) 10分
当

且

时,即

,

在

上恒成立,

在

上单调递减

,

(舍去) 11分
当

且

时,即

时,令

,得

;

,得


在

上单调递减,在

上单调递增

,

满足条件 13分
综上所述,存在实数

,使

在

上的最小值是3 14分