Question

已知F₁，F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，点P在双曲线右支上，O为坐标原点，若△POF₂是面积为1的正三角形，则b的值是

2

．

Answer 1

分析：利用双曲线的性质、正三角形的性质和面积公式即可得出．

解答：解：由△POF₂是面积为1的正三角形，∴1=

3

4

c2，解得c2=

4

3

．
又线段OF₂的中点M的横坐标为

c

2

=

1

4 3

，即为点P的横坐标，代入双曲线的方程得

c2

4a2

-

y2

b2

=1，即

1

3 a2

-

y2

b2

=1．解得y²=

b2(1- 3 a2)

3 a2

．
又△POF₂是正三角形，∴

b2(1- 3 a2)

3 a2

=(

3

2

c)2=

3

，
又a2+b2=

4

3

．联立解得b=

2

．
故答案为

2

．

点评：熟练掌握双曲线的性质、正三角形的性质和面积公式是解题的关键．