Question

（本小题满分13分）

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁.
（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）若直线AC与平面A₁BC所成的角为θ,二面角A₁-BC-A的大小为φ．判断θ与φ的大小关系，并予以证明.

Answer 1

（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A₁ABB₁内作

AD⊥A₁B于D，则
由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁,且平面A₁BC侧面A₁ABB₁=A₁B,得
AD⊥平面A₁BC,又BC平面A₁BC，
所以AD⊥BC. ……………………………………………………...2分
因为三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，
则AA₁⊥底面ABC，
所以AA₁⊥BC．……………………………………………..……..…3分
又AA₁AD=A,从而BC⊥侧面A₁ABB₁，
又AB侧面A₁ABB₁，故AB⊥BC. ………………………..…...4分
（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知是直线AC与平面A₁BC所成的角，……………………………………….………………...6分
是二面角A₁—BC—A的平面角，即
于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中，…...8分
由AB＜AC，得………………………………….……...11分
又所以．…………………………………………....13分