Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意非零的实数a，b∈R，满足f（ab）=

f(b)

a

+

f(a)

b

，f(2)=

1

2

，an=

f(2n)

n

（n∈N^*），bn=2n•f(2n)（n∈N^*）．考查下列结论：①f（-1）=f（1）；②f（x）为偶函数；③数列{a_n}为等比数列；④{b_n}为等差数列．其中正确的是（　　）

A．①②③

B．①③④

C．③④

D．①④

Answer 1

分析：①利用赋值法证明f（-1）=f（1）；②根据函数奇偶性的定义证明；③根据等比数列的定义进行判断；④根据等差数列的定义进行判断．

解答：解：①令a=b=1，则f（1）=

f(1)

1

+

f(1)

1

=2f(1)，∴f（1）=0，
令a=-1，b=-1，得f（1）=

f(-1)

-1

+

f(-1)

-1

=-2f(-1)=0，∴f（-1）=0，即f（-1）=f（1）成立，∴①正确．
②令a=-1，b=-2，则f（2）=f（-1×（-2））=

f(-2)

-1

+

f(-1)

-2

=-f(-2)，
即f（-2）=-f（2）=-

1

2

，∴不满足f（-x）=f（x），∴f（x）不是偶函数，∴②错误．
③∵f（ab）=

f(b)

a

+

f(a)

b

，f(2)=

1

2

，
∴f（2ⁿ）=f（2•2_n-1）=

f(2n-1)

2

+

f(2)

2n-1

=

f(2n-1)

2

+

1

2n

=…=

n

2n

，
∴an=

f(2n)

n

=

1

2n

，∴

an

an-1

=

1

2

，
即数列{a_n}为等比数列，∴③正确．
④bn=2n•

n

2n

=n，∴{b_n}为等差数列，∴④正确．
故正确的是①③④．
故选：B．

点评：本题主要考查与数列有关的信息题，正确理解条件的意义，是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．