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    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左焦点为F(-
    		2
    ，0)    ，离心率e=
    		2
    2
    ，M，N是椭圆上的动点．
    （Ⅰ）求椭圆标准方程；
    （Ⅱ）设动点P满足：
    OP
    =
    OM
    +2
    ON
    ，直线OM与ON的斜率之积为-
    1
    2
    ，问：是否存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？，若存在，求出F1，F2的坐标，若不存在，说明理由．
    （Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA并延长交椭圆于点B，设直线MN、MB的斜率分别为kMN、kMB，求kMN•kMB的值．
    分析：（Ⅰ）根据椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左焦点为F(-
    		2
    ，0)    ，离心率e=
    		2
    2
    ，可得c=
    		2
    ，a=2    ，利用b=
    		a2-c2
    =
    		2
    ，可求得椭圆标准方程；
    （Ⅱ）将
    OP
    =
    OM
    +2
    ON
    坐标化，利用直线OM与ON的斜率之积为-
    1
    2
    ，可计算x2+2y2=20，从而可知存在定点F1(-
    		10
    ，0)    ，F2(
    		10
    ，0)    ，使得|PF1|+|PF2|为定值．
    （Ⅲ）设M点坐标为（x0，y0），则N点坐标为（-x0，-y0），A坐标为（x0，0），，写出直线NA方程为和椭圆联立，可求得B的坐标（x，y），进而可计算kMB，kMN，即可求得kMN•kMB的值．
    解答：解：（Ⅰ）∵椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左焦点为F(-
    		2
    ，0)    ，离心率e=
    		2
    2
    ，
    ∴c=
    		2
    ，a=2
    ∴b=
    		a2-c2
    =
    		2

    ∴椭圆标准方程为
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1    ；
    （Ⅱ）设P（x，y），M（x1，y1 ）、N（x2，y2 ）．
    ∵
    OP
    =
    OM
    +2
    ON
    ，
    ∴（x，y）=（x1+2x2，y1+2y2），∴x=x1+2x2，y=y1+2y2，
    ∵M、N是椭圆上的点，∴
    x12
    4
    +
    y12
    2
    =1    ，
    x22
    4
    +
    y22
    2
    =1    ．
    ∴x2+2y2=（x1+2x2）2+2 （y1+2y2）2=（x12+2y12 ）+4（x22+2y22 ）+4（x1x2+2y1y2）=20+4（x1x2+2y1y2）．
    ∵直线OM与ON的斜率之积为-
    1
    2
    ，
    ∴
    y1y2
    x1x2
    =-
    1
    2

    ∴x1x2+2y1y2=0，
    ∴x2+2y2=20，即
    x2
    20
    +
    y2
    10
    =1
    ∴存在定点F1(-
    		10
    ，0)    ，F2(
    		10
    ，0)    ，使得|PF1|+|PF2|为定值．
    （Ⅲ）设M点坐标为（x0，y0），则N点坐标为（-x0，-y0），A坐标为（x0，0），
    直线NA方程为y=
    y0
    2x0
    (x-x0)    和椭圆联立
    y=
    y0
    2x0
    (x-x0)
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1
    ，消去y整理得
    (1+
    y02
    2x02
    )x2    -
    y02
    x0
    x    -4+
    y02
    2
    =0
    设B（x，y），则-x0+x=
    2x0y02
    2x02+ y02
    ，∴y-y0=
    -2y0x02
    2x02+y02

    ∴
    y-y0
    x-x0
    =-
    x0
    y0
    ，∴kMB=-
    x0
    y0

    ∵kMN=
    y0
    x0
    ，
    ∴kMN•kMB=-1．
    点评：本题考查椭圆的标准方程，考查存在性问题的探求，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生运算、分析解决问题的能力，综合性强．
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    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
    1
    2

    （Ⅰ）求椭圆的标准方程，
    （Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
    PF1
    •
    PA
    的取值范围
    （III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
    AH
    2    =
    MH
    •
    HN
    ，求证：直线l恒过定点．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
    （1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
    （2）求k1：k2的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率是
    		3
    2
    ，且经过点M（2，1），直线y=
    1
    2
    x+m(m＜0)    与椭圆相交于A，B两点．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）当m=-1时，求△MAB的面积；
    （3）求△MAB的内心的横坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•威海二模）已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为e=
    		6
    3
    ，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
    2
    		6
    3
    +2    ．
    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
    （Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
    ND
    •
    MP
    AB
    2
    为定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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