Question

如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，D为半圆弧的中心，P为半圆弧上一点，且AB=4，∠POB=30°，双曲线C以A，B为焦点且经过点P．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求双曲线C的方程；
（2）设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，若△OEF的面积不小于2

2

，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）法一：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则点A（-2，0），B（2，0），P(

3

，1)，则2a=|PA|-|PB|，2c=|AB|．由此能求出双曲线C的方程．
法二：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则点A（-2，0），B（2，0），P(

3

，1)．设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，则

a2+b2=4 ( 3 )2 a2 - 1 b2 =1

，由此能求出双曲线C的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程，得（1-k²）x²-4kx-6=0．由直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，能求出直线l的斜率的取值范围．

解答：解：（1）方法一：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
则点A（-2，0），B（2，0），P(

3

，1)．
设双曲线实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
则2a=|PA|-|PB|=

(2+ 3 )2+12

-

(2- 3 )2+12

=2

2

，2c=|AB|=4．
所以a=

2

，c=2，从而b²=c²-a²=2．
故双曲线C的方程是

x2

2

-

y2

2

=1…（6分）
方法二：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
则点A（-2，0），B（2，0），P(

3

，1)．
设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
则

a2+b2=4 ( 3 )2 a2 - 1 b2 =1

，
解得a²=b²=2，故双曲线C的方程是

x2

2

-

y2

2

=1．   …（6分）
（2）据题意可设直线l的方程为y=kx+2，
代入双曲线C的方程得，x²-（kx+2）²=2，即（1-k²）x²-4kx-6=0．
因为直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，
则

1-k2≠0 △=(-4k)2+4×6(1-k2)＞0

，即

k≠±1 - 3 ＜k＜ 3

，
设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则x1+x2=

4k

1-k2

，x1x2=-

6

1-k2

．
所以|EF|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

2 2 3-k2

|1-k2|

．
又原点O到直线l的距离d=

2

1+k2

．（11分）
所以S△DEF=

1

2

d•|EF|=

1

2

•

2

1+k2

•

1+k2

•

2 2 3-k2

|1-k2|

=

2 2 3-k2

|1-k2|

．
因为S△OEF≥2

2

，则

2 2 3-k2

|1-k2|

≥2

2

?k4-k2-2≤0，
解得-

2

≤k≤

2

．
综上分析，直线l的斜率的取值范围是[-

2

，-1)∪(-1，1)∪(1，

2

]…（14分）

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．