Question

【题目】已知函数f（x）=﹣alnx+（a+1）x﹣（a＞0）．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若f（x）≥﹣+ax+b恒成立，求a时，实数b的最大值．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

（1）求出并对其因式分解，对与1的大小分类讨论，由的正负情况判断的单调性。

（2）把f（x）≥﹣+ax+b恒成立转化成b≤﹣alnx+x恒成立，令g（x）=﹣alnx+x，求出g′（x）=，判断g（x）的单调性，从而求得g（x）min=﹣alna+a，令h（a）=﹣alna+a，求得h′（a）=﹣lna＞0，即可求得h（a）min，问题得解。

（1）∵f（x）=﹣alnx+（a+1）x﹣（a＞0），定义域为（0，+∞），

∴，x＞0

令f′（x）=0，则x1=a，x2=1

①当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，则a＜x＜1；

令f′（x）＜0，则0＜x＜a，或x＞1，

∴f（x）在（0，a），（1，+∞）上单调递减；在（a，1）上单调递增；

②当a=1时，f′（x）≤0，且仅在x=1时，f′（x）=0，

∴f（x）在（0，+∞）单调递减；

③当a＞1时，令f′（x）＞0，则1＜x＜a；

令f′（x）＜0，则0＜x＜1，或x＞a，

∴在（0，1 ），（a，+∞）上单调递减；在（1，a）上单调递增．

综上所述，

当0＜a＜1时，f（x）在（0，a），（1，+∞）上单调递减；在（a，1）上单调递增；

当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；

当a＞1时，f（x）在（0，1），（a，+∞）上单调递减；在（1，a）上单调递增．

（2）∵f（x）=﹣alnx+（a+1）x﹣（a＞0）

若恒成立，

∴b≤﹣alnx+x恒成立

令g（x）=﹣alnx+x，x＞0，

即b≤g（x）min，

∵g′（x）=，（a＞0），

∴g（x） 在（0，a）单调递减，（a，+∞） 单调递增；

g（x）min=g（a）=﹣alna+a

∴b≤﹣alna+a，a∈[，1]，

令h（a）=﹣alna+a

∴h′（a）=﹣lna＞0，∴h（a）单调递增，

∴h（a）min=h（）=（1+ln2），

∴

即b的最大值为