Question

已知圆C：x²+y²-6x-4y+4=0，直线l₁被圆所截得的弦的中点为P（5，3）．
①求直线l₁的方程．
②若直线l₂：x+y+b=0与圆C相交，求b的取值范围．
③是否存在常数b，使得直线l₂被圆C所截得的弦的中点落在直线l₁上？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设直线l₁的斜率为则k，由题意可得圆心C（3，2），又弦的中点为P（5，3），可求得k_PC=

1

2

，由k•k_PC=-1可求k，从而可求直线l₁的方程；
（2）若直线l₂：x+y+b=0与圆C相交，圆心到直线l₂的距离小于半径，从而可求得b的取值范围；
（3）设直线l₂被圆C解得的弦的中点为M（x_°，y_°），由直线l₂与CM垂直，可得x_°-y_°-1=0，与x_°+y_°+b=0联立可求得x₀，y₀，代入直线l₁的方程，求得b，验证即可．

解答：解：①∵圆C的方程化标准方程为：（x-3）²+（y-2）²=9，
∴圆心C（3，2），半径r=3．设直线l₁的斜率为则k，则
k=-

1

kPC

=-

1

1 2

=-2．
∴直线l₁的方程为：y-3=-2（x-5）即2x+y-13=0．
②∵圆的半径r=3，
∴要使直线l₂与圆C相交则须有：

|3+2+b|

2

＜3，
∴|5|＜3

2

于是b的取值范围是：-3

2

-5＜b＜3

2

-5．
③设直线l₂被圆C解得的弦的中点为M（x_°，y_°），则直线l₂与CM垂直，于是有：

y°-2

x°-3

=1，
整理可得：x_°-y_°-1=0．
又∵点M（x_°，y_°）在直线l₂上，
∴x_°+y_°+b=0
∴由

x°-y°-1=0 x°+y°+b=0

解得：

x°= 1-b 2 y°=- 1+b 2

代入直线l₁的方程得：1-b-

1+b

2

-13=0，
∴b=-

25

3

∈（-3

2

-5，3

2

-5），
故存在满足条件的常数b．

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，着重考查通过圆心到直线间的距离与圆的半径的大小判断二者的位置关系，属于中档题．