Question

设关于x，y的不等式组

cosθ≤x≤2cosθ sinθ≤y≤2sinθ

(θ∈R)表示的平面区域为Ω，点P（x，y）是Ω中的任意一点，点M（x，y）在圆C：（x+3）²+（y+3）²=1上，则|

PM

|的最小值为（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：由不等式的性质和参数方程的意义，得平面区域Ω是位于第一象限的扇环（含边界），如图所示．由此可得动点P位于点A（1，0）或B（0，1）时，点C到P的距离最小，且此时圆C上点M到P的距离达到最小值，得到本题答案．

解答：解：∵在不等式组中cosθ≤2cosθ且sinθ≤2sinθ
∴θ满足cosθ≥0且sinθ≥0
由此可得不等式组

cosθ≤x≤2cosθ sinθ≤y≤2sinθ

(θ∈R)
满足1≤x²+y²≤4，且x、y都是大于或等于0
所以平面区域Ω是位于第一象限的扇环（含边界），如图所示
∵圆C：（x+3）²+（y+3）²=1的圆心为C（-3，-3），半径为1
∴当动点P位于点A（1，0）或B（0，1）时，点C到P的距离最小，
得|PC|最小值为

(1+3)2+(0+3)2

=5
因此，当点M（x，y）在圆C上运动时，|

PM

|的最小值为5-1=4
故选A

点评：本题给出不等式组表示的平面区域，求两个动点之间距离的最小值，着重考查了两点间的距离公式和圆的几何性质等知识，属于中档题．