Question

△ABC的三个内角为A、B、C，cosA+2cos

B+C

2

的最大值是（　　）

• A、3
• B、0.5
• C、1
• D、1.5

Answer 1

分析：根据三角函数的诱导公式与二倍角的余弦公式，化简可得cosA+2cos

B+C

2

=-2sin²

A

2

+2sin

A

2

+1，再令t=sin

A

2

，研究二次函数f（t）=-2t²+2t+1在（0，1）上的单调性，可得当t=

1

2

时，f（t）的最大值为

3

2

，从而可得本题的答案．

解答：解：∵在△ABC中，A+B+C=π，
∴

B+C

2

=

1

2

（π-A）=

π

2

-

A

2

，可得cos

B+C

2

=cos（

π

2

-

A

2

）=sin

A

2

．
由此可得cosA+2cos

B+C

2

=1-2sin²

A

2

+2sin

A

2

，
令t=sin

A

2

，可得1-2sin²

A

2

+2sin

A

2

=-2t²+2t+1，
∵

A

2

∈（0，

π

2

），∴t=sin

A

2

∈（0，1），
又∵二次函数f（t）=-2t²+2t+1在（0，

1

2

）上为增函数，在（

1

2

，1）上为减函数．
∴当t=

1

2

时，f（t）的最大值为

3

2

．
即sin

A

2

=

1

2

，A=

π

3

时cosA+2cos

B+C

2

的最大值是

3

2

．
故选：D

点评：本题在三角形中求三角函数表达式的最大值，着重考查了三角形内角和定理、三角函数的诱导公式、二倍角公式等知识，考查了二次函数的最值求法，属于中档题．