Question

如图，在平行四边形OABP中，过点P的直线与线段OA、OB分别相交于点M、N，若

OM

=x

OA

，

ON

=y

OB

（0＜x＜1）．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）令F（x）=

1

f(x)

+x，判断F（x）的单调性，并给出你的证明．

Answer 1

分析：（1）应充分利用平面向量的基本定理，找准基底将向量

NM

、

MP

分别利用基底表示，再结合向量的共线即可获得问题的解答．
（2）首先利用（1）的结论将F（x） 进行化简，然后利用函数单调性的定义即可获得问题的解答．

解答：解：（1）

OP

=

AB

=

OB

-

OA

，
则

NM

=

OM

-

ON

=x

OA

-y

OB

，

MP

=

OP

-

OM

=（

OB

-

OA

）-x

OA

=-（1+x）

OA

+

OB

又

NM

∥

MP

，有x-y（1+x）=0，
即函数的解析式为：f（x）=

x

x+1

（0＜x＜1）；

（2）由（1）得F（x）=

1

f(x)

+x=

x+1

x

+x=x+

1

x

+1（0＜x＜1），设0＜x₁＜x₂＜1，
则F（x₁）-F（x₂）=（x₁+

1

x1

+1）-（x₂+

1

x2

+1）=（x₁-x₂）+（

1

x1

-

1

x2

）
=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）=（x₁-x₂）

x1x2-1

x1x2

，
由0＜x₁＜x₂＜1，得x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0，x₁x₂＞0，得F（x₁）-F（x₂）＞0，
即F（x₁）＞F（x₂）．
∴F（x）在（0，1）上为减函数．

点评：本题考查的是平面向量和函数性质的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了平面向量的基本定理、共线知识以及函数单调性的定义．值得同学们体会和反思．