Question

已知命题p：不等式|x-4|+|x-3|＜m在实数集R上的解集不是空集，命题q：f（x）=-（5-2m）^x是增函数，若p，q中有且仅有一个为真命题，则实数m的取值范围是

(1，2]∪[

5

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：若命题p是真命题，可求出m＞1，若命题q是真命题，可求出2＜m＜

5

2

．由题意可得m＞1和2＜m＜

5

2

 中只能
有仅有一个成立，从而得到 m的取值范围．

解答：解：若命题p是真命题，由于|x-3|+|x-4|的几何意义是数轴上的点x 到3和4的距离之和，
当x在3、4之间时，这个距离和最小，是1，其它情况都大于1．
所以|x-3|+|x-4|≥1，
如果不等式|x-4|+|x-3|＜m 的解集不是空集，所以 m＞1．
若命题q是真命题，即f（x）=-（5-2m）^x是增函数，则 0＜5-2m＜1，解得 2＜m＜

5

2

．
由于p，q中有且仅有一个为真命题，故m＞1 和2＜m＜

5

2

 中只能有仅有一个成立，
∴1＜m≤2，或 m≥

5

2

．
故答案为 (1，2]∪[

5

2

，+∞)．

点评：本题考查绝对值不等式的几何意义，指数函数的单调性，判断m＞1 和2＜m＜

5

2

 中只能有仅有一个成立，是解题的关键，属于中档题．