Question

10．已知函数f（x）=2sinxcosx-2$\sqrt{3}$cos²x+$\sqrt{3}$，则下列结论正确的是（　　）

• A． f（x）的周期为2π
• B． f（x）在区间（0，$\frac{π}{4}$）内单调递增
• C． f（x）的一个对称中心为（$\frac{π}{3}$，0）
• D． 当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的值域为[-2$\sqrt{3}$，0]

Answer 1

分析 利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的周期性，单调性，定义域和值域，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=2sinxcosx-2$\sqrt{3}$cos²x+$\sqrt{3}$=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），∴它的周期为$\frac{2π}{2}$=π，故排除A；
在区间（0，$\frac{π}{4}$）内，2x-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$） 在区间（0，$\frac{π}{4}$）内单调递增，故B满足条件；
令x=$\frac{π}{3}$，求得f（x）=$\sqrt{3}$，故排除C；
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]，故f（x）的值域为[-$\sqrt{3}$，2]，故排除D，
故选：B．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性，单调性，定义域和值域，属于基础题．