Question

如图，点A，B，C是椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1的三个顶点，F₁，F₂是它的左、右焦点，P是M上一点，且PF₂⊥OB．则下列命题：
①存在a，b使得△AF₂P为等腰直角三角形
②存在a，b使得△F₁F₂P为等腰直角三角形
③存在a，b使得△OF₂P为等腰直角三角形
④存在a，b使得△BF₂P为等腰直角三角形
其中真命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：利用椭圆的长轴，短轴，焦距的数量关系判定①②的正误；利用F₂P与c的关系判定③④的正误，得到选项．

解答：解：由题意可知F₂P＜b＜a，所以存在a，b使得△AF₂P为等腰直角三角形不可能，①是错误的；
当2c=F₂P时，即满足2c=

b2

a

，a=(1+

2

)c时，△F₁F₂P为等腰直角三角形，所以②正确．
存在a，b使得△OF₂P为等腰直角三角形，只需c=F₂P即可，所以③正确．
只需BF₂=F₂P，即a-c=F₂P可得出a=c，而a＞c矛盾，所以④不正确．
故选C．

点评：本题考查题意的基本性质，长轴、短轴、焦距、通经之间的关系，考查学生的计算能力．