Question

如图2-4-13，已知C点在⊙O直径BE的延长线上，CA切⊙O于A点，∠ACB的平分线CD交AE于F点，交AB于D点.

图2-4-13

(1)求∠ADF的度数.

(2)若∠ACB的度数为y度，∠B的度数为x度，那么y与x之间有怎样的关系？试写出你的猜测并给出证明.

(3)若AB=AC，求AC∶BC.

Answer 1

思路分析:（1）中由AC为⊙O切线可得∠B=∠EAC，由CD平分∠ACB可得∠ACD=∠DCB，根据三角形外角定理，得到∠ADF=∠AFD，建立等腰三角形，再由顶角求底角；（2）中则利用三角形内角和定理得到方程，获得关系；（3）中求线段的比值，利用△ACE∽△ABC可得.

解:（1）∵AC为⊙O切线，

∴∠B=∠EAC.

∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB.

∴∠B＋∠DCB=∠EAC＋∠ACD，即∠ADF=∠AFD.

∵BE为⊙O直径，∴∠DAE=90°.

∴∠ADF=(180°-∠DAE)=45°.

（2）∵∠B=∠EAC，∠B＋∠BAC＋∠ACB=180°,

∴x＋90＋x＋y=180.∴y=90-2x.

∵0＜∠B＜∠ADC，∴0＜x＜45.

∴y与x的函数关系式是y=90-2x，其中x的取值范围是0＜x＜45.

（3）∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，

∴△ACE∽△ABC.∴.

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB,即x=y.

又∵y=90-2x，∴x=90-2x，x=30.

∴在Rt△ABE中，=tan∠ABE=tan30°=.