Question

已知数列{a_n}满足a_n=a_n+1+4，a₁₈+a₂₀=12，等比数列{b_n}的首项为2，公比为q．
（Ⅰ）若q=3，问b₃等于数列{a_n}中的第几项？
（Ⅱ）数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别记为S_n和T_n，S_n的最大值为M，当q=2时，试比较M与T₉的大小．

Answer 1

（I）b₃=b₁q²=18．                                      …（2分）
由a_n=a_n+1+4，得a_n+1-a_n=-4，即{a_n}是公差d=-4的等差数列．…（3分）
由a₁₈+a₂₀=12，得a₁+18d=6?a₁=78
∴a_n=78+（n-1）（-4）=-4n+82
令-4n+82=b₃=18，得n=16
∴b₃等于数列{a_n}中的第16项
（II）∵b₁=q=2
∴T₉=

2(1-29)

1-2

=2¹⁰-2=1022
又S_n=78n+

n(n-1)

2

•(-4)=-2n²+80n=-2（n-20）²+800
∴n=20时，最大值M=800
∴M＜T₉