Question

17．设q（q＞0，q≠1）是一个公比为q（q＞0，q≠1）等比数列，4a₁，3a₂，2a₃成等差数列，且它的前4项和s₄=15．
（Ⅰ）求数列b_n=$\frac{a_n}{n}$，（n=1，2，3…）的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=a_n+2n，（n=1，2，3…），求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵q（q＞0，q≠1）是一个公比为q（q＞0，q≠1）的等比数列，
∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}$．
∵4a₁，3a₂，2a₃成等差数列，
∴6a₂=4a₁+2a₃，即q²-3q+2=0．
解得q=2，q=1（舍）．
又它的前4和S₄=15，得$\frac{{{a_1}（1-{q^4}）}}{1-q}=15\;（q＞0，q≠1）$，
解得a₁=1．
∴${a_n}={2^{n-1}}$．
（Ⅱ）∵b_n=a_n+2n=2^n-1+2n，
∴数列{b_n}的前n项和=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+$\frac{n（2+2n）}{2}$=2ⁿ-1+n（n+1）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．