Question

实数a，b，c成等差数列，过点P（-3，2）作直线ax+by+c=0的垂线，垂足为M．又已知点N（2，3），则线段MN长的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系,点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：由已知条件推导出M点轨迹为以PQ为直径的圆，圆心为PQ的中点C（-1，0），半径r=

1

2

|PQ|=

1

2

16+16

=2

2

，由此能求出线段MN长度的取值范围．

解答： 解：∵实数a，b，c成等差数列，∴b=

1

2

（a+c），
动直线ax+by+c=0，即ax+

a+c

2

y+c=0，
∴a（x+

y

2

）+c（

y

2

+1）=0，
∴

x+ y 2 =0 y 2 +1=0

，解得x=1，y=-2，
∴动直线ax+by+c=0恒过Q（1，-2）点，
∵过点P（-3，2）作直线ax+by+c=0的垂线，垂足为M，
∴PM⊥QM，∴M点轨迹为以PQ为直径的圆，
圆心为PQ的中点C（-1，0），半径r=

1

2

|PQ|=

1

2

16+16

=2

2

，
∵N（2，3），∴|NC|=

9+9

=3

2

，
∴|MN|_min=|NC|-r=3

2

-2

2

=

2

，|MN|_max=|NC|+r=3

2

+2

2

=5

2

，
∴线段MN长度的取值范围是[

2

，5

2

]．
故答案为：[

2

，5

2

]．

点评：本题考查线段的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程、点到直线的距离公式等知识点的合理运用．