Question

设双曲线的左、右顶点分别为A₁、A₂，点P（x₁，y₁）、Q（x₂，-y₁）是双曲线上不同的两个动点。
（1）求直线A₁P与A₂Q交点的轨迹E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）由A₁、A₂分别为双曲线的左、右顶点知



两式相乘得

∵点P（x₁，y₁）在双曲线上
∴
即
∴
∴
即直线A₁P与A₂Q交点的轨迹E的方程为。
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B，且，又设该圆的切线方程为y=kx+m
由
消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
则Δ=16k²m²-4（1+2k² ）（2m²-2）=8（2k²-m²+1）>0，
即2k²-m²+1>0
设A（x₁'，y₁'），B（x₂，y₂）
则
∴ y₁'y₂=k²x₁'x₂+km（x₁′+x₂）+m²=

要使
需使x₁′x₂+y₁′y₂=0
即
∴
又2k²-m²+1>0，解得或
∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线
∴圆的半径为


所求的圆为
此时圆的切线y=kx+m都满足或
而当切线的斜率不存在时，切线为
与椭圆的两个交点为或满足
综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B，且。