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已知函数f(x)=ex-ax-1(e为自然对数的底数),a>0.
(Ⅰ)若函数f(x)恰有一个零点,证明:aa=ea-1
(Ⅱ)若f(x)≥0对任意x∈R恒成立,求实数a的取值集合.
考点:导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的零点
专题:导数的综合应用
分析:(Ⅰ)求出函数的导数,通过导数为0,判断函数的单调性,利用函数的最小值证明aa=ea-1
(Ⅱ)利用(Ⅰ)函数的最小值,结合f(x)≥0对任意x∈R恒成立,构造函数,求出新函数的最小值利用恒成立,求实数a的取值集合.
解答: (Ⅰ)证明:由f(x)=ex-ax-1,得f'(x)=ex-a.…(1分)
由f'(x)>0,即ex-a>0,解得x>lna,同理由f'(x)<0解得x<lna,
∴f(x)在(-∞,lna)上是减函数,在(lna,+∞)上是增函数,
于是f(x)在x=lna取得最小值.
又∵函数f(x)恰有一个零点,则f(x)min=f(lna)=0,…(4分)
即elna-alna-1=0.…(5分)
化简得:a-alna-1=0,即alna=a-1,于是lnaa=a-1,
∴aa=ea-1. …(6分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,f(x)在x=lna取得最小值f(lna),
由题意得f(lna)≥0,即a-alna-1≥0,…(8分)
令h(a)=a-alna-1,则h'(a)=-lna,
由h'(a)>0可得0<a<1,由h'(a)<0可得a>1.
∴h(a)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,即h(a)max=h(1)=0,
∴当0<a<1或a>1时,h(a)<0,
∴要使得f(x)≥0对任意x∈R恒成立,a=1.
∴a的取值集合为{1}…(13分)
点评:本题考查函数的导数的应用,函数的最值的求法,考查逻辑推理能力,构造新函数是解题本题的关键.
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