Question

11．F是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点，P为C上一动点，点A坐标为（1，1），则|PA|+|PF|的最小值为（　　）

• A． 4+$\sqrt{5}$
• B． 4-$\sqrt{5}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 设椭圆的左焦点为F'，连接PF'、AF'，根据椭圆的定义得|PA|+|PF|=4+（|PA|-|PF'|），结合图形可得当P、A、F'三点共线，且P在F'A延长线上时，|PA|-|PF'|取得最小值，利用两点之间距离公式，则不难求出这个最小值．

解答 解：设椭圆的左焦点为F'，连接PF'、AF'
∵点P在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上运动，
∴|PF|+|PF'|=2a=4
由此可得|PA|+|PF|=|PA|+（4-|PF'|）=4+（|PA|-|PF'|）
当P、A、F'三点共线，且P在F'A延长线上时，|PA|-|PF'|取得最小值
∴|PA|-|PF'|的最小值为：-|AF'|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（1-0）^{2}}$=-$\sqrt{5}$
由此可得|PA|+|PF|的最大值为4-$\sqrt{5}$
故选：B．

点评 本题给出椭圆内部一点A和椭圆上动点P，求距离之和的最小值，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．