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函数y=f(x)在区间(0,+∞)内可导.导函数f(x)是减函数,且f(x)>0,x0∈(0,+∞).g(x)=kx+m是y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程.
(1)用x0,f(x0),f(x0)表示m;
(2)证明:当x∈(0,+∞)时,g(x)≥f(x);
(3)若关于x的不等式数学公式在(0,+∞)上恒成立,其中a,b为实数,求b的取值范围及a,b所满足的关系.

解:(1)y-f(x0)=f'(x0)(x-x0
∴m=f(x0)-x0f'(x0).
(2)证明:令h(x)=g(x)-f(x),则h'(x)=f'(x0)-f'(x),h'(x0)=0.
因为f'(x)递减,所以h'(x)递增,因此,当x>x0时,h'(x)>0;
当x<x0时,h'(x)<0.所以x0是h(x)唯一的极值点,且是极小值点,
可知h(x)的最小值为0,因此h(x)≥0,即g(x)≥f(x).
(3)把ax移到两边得
令y1=x2+1-ax,
时,(y1min=1,(y2max=0,∴1≥b≥0
时,

分析:(1)先利用点斜式表示出切线方程,然后根据切线方程与y=kx+m是同一直线建立等式关系,求出m即可;
(2)比较g(x)与f(x)的大小可利用作差比较,构造函数h(x)=g(x)-f(x),然后利用导数研究函数h(x)的单调性,求出函数h(x)的最小值,即可证得结论.
(3)把ax移到两边,再求最值,即可得出b的取值范围及a,b所满足的关系
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
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