Question

在ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，sin²C+sinAsinB=sin²A+sin²B
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，且sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）原式可化简为a²+b²-c²=ab，由余弦定理知cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，即可求得C=

π

3

；
（2）化简可得sinBcosA=2sinAcosA，分cosA=0或者cosA≠0讨论，由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式即可得解．

解答： 解（1）已知等式sin²C+sinAsinB=sin²A+sin²B，利用正弦定理化简得：c²+ab=a²+b²，即a²+b²-c²=ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
又0＜C＜π，
∴C=

π

3

；
（2）∵sinC+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A，
∴sinBcosA=2sinAcosA，
当cosA=0，即A=

π

2

，此时b=

2 3

3

，S_△ABC=

bc

2

=

2 3

3

；
当cosA≠0，得到sinB=2sinA，利用正弦定理得：b=2a，
由余弦定理知c²=a²+b²-2abcosC，代入b=2a，c=2整理可得a2=

4

3

，即有a=

2 3

3

．
此时S_△ABC=

1

2

×a×b×sinC=

2 3

3

．

点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的综合应用，属于中档题．