【题目】已知函数.
(1)当时,求函数的图象在处的切线方程;
(2)若函数在定义域上为单调增函数.
①求最大整数值;
②证明: .
【答案】(1);(2)①2;②见解析.
【解析】试题分析:(1)根据导数几何意义得切线斜率为,再根据点斜式求切线方程(2)①先转化条件为恒成立,再根据,得当时, 恒成立.最后举反例说明当时, 不恒成立.②对应要证不等式,在中取,得,再根据等比数列求和公式得左边和为,显然.
试题解析:(1)当时, ,∴,
又,∴,
则所求切线方程为,即.
(2)由题意知, ,
若函数在定义域上为单调增函数,则恒成立.
①先证明.设,则,
则函数在上单调递减,在上单调递增,
∴,即.
同理可证,∴,∴.
当时, 恒成立.
当时, ,即不恒成立.
综上所述, 的最大整数值为2.
②由①知, ,令,
∴,∴.
由此可知,当时, .当时, ,
当时, , ,当时, .
累加得.
又,
∴.
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【题目】(2015·北京)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本
中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为( )
A.90
B.100
C.180
D.300
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【题目】已知a∈R,函数f(x)=log2( +a).
(1)当a=1时,解不等式f(x)<0;
(2)若a>0,不等式f(x)<log2(x+ )恒成立,求a的取值范围;
(3)若关于x的方程f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素,求a的取值范围.
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【题目】设椭圆C: =1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被椭圆所截得线段的中点坐标.
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【题目】定义在上的函数同时满足以下条件:①在上是减函数,在上是增函数;②是偶函数;③在处的切线与直线垂直.
(1)取函数的解析式;
(2)设,若存在实数,使,求实数的取值范围.
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【题目】在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且 a=2csinA.
(1)确定角C的大小;
(2)若c=3,且△ABC的面积为 ,求a2+b2的值.
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【题目】已知 是函数f(x)的导函数,如果 是二次函数, 的图象开口向上,顶点坐标为(1, ) ,那么曲线f(x)上任一点处的切线的倾斜角 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
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