Question

1．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，左焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与双曲线相交于B、C两点，若△ABC为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（　　）

• A． （1，2）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （$\sqrt{2}$，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 根据题意，求出AF，$\frac{1}{2}$|BC若△ABC为锐角三角形，只要∠FAB为锐角，即$\frac{1}{2}$|BC|＜AF；从而可得结论．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，左焦点为F，AF=a+c，$\frac{1}{2}$|BC|=$\frac{{b}^{2}}{a}$
过F作垂直于x轴的直线与双曲线相交于B、C两点，若△ABC为锐角三角形，
只要∠FAB为锐角，即$\frac{1}{2}$|BC|＜AF；
所以有 $\frac{{b}^{2}}{a}$＜a+c，
即c²-a²＜a²+ac，即：e²-e-2＜0
解出e∈（1，2），
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘．