Question

已知抛物线C₁：y²=4ax（a＞0），椭圆C以原点为中心，以抛物线C₁的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为，过抛物线C₁的焦点F作倾斜角为的直线l，交椭圆C于一点P（点P在x轴上方），交抛物线C₁于一点Q（点Q在x轴下方）．
（1）求点P和Q的坐标；
（2）将点Q沿直线l向上移动到点Q′，使|QQ′|=4a，求过P和Q′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆方程，进而根据题意求得a和m，a和n的关系，进而根据椭圆方程与直线l联立求得交点坐标．
（2）将Q点沿直线l向上移动到Q′点，使|QQ′|=4a，则可求出Q′点的坐标，设双曲线方程，把P，Q′代入双曲线方程，求得s和r，进而双曲线方程可得．
解答：解：（1）由题意可知F（a，0），设椭圆方程为+=1（m＞n＞0）．
由=，m²-n²=a²，
解得m²=2a²，n²=a²，
∴椭圆方程为+=1，直线l：y=x-a．
可求出P（a，a）．
y=x-a，
可求出Q（（3-2）a，（2-2）a．
（2）将Q点沿直线l向上移动到Q′点，
使|QQ′|=4a，则可求出Q′点的坐标为（3a，2a）．
设双曲线方程为-=1（s•r＞0）．
由于P、Q′在双曲线上，则有-=1，-=1．
解得=，=．
∴双曲线方程为x²-y²=1．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生对圆锥曲线基本知识的综合掌握．