Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）+f（x）=0，且函数f（x+1）为奇函数，对于下列命题：
①函数f（x）是以T=2为周期的函数；
②函数f（x）的图象关于点（1，0）对称；
③函数f（x）的图象关于直线x=2对称；
④函数f（x）的最大值为f（2）；
⑤f（2011）=0．
其中正确结论的序号为（　　）

• A、①③⑤
• B、②③⑤
• C、②③④
• D、①④⑤

Answer 1

分析：由题意定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）+f（x）=0，说明该函数的周期为T=4，又有函数f（x+1）为奇函数，说明函数f（x）应该有对称中心（1，0）

解答：解：∵定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）+f（x）=0，即：f（x+2）=-f（x）对于一切x都成立，式子中的x被x+2代替得到：f（x+4）=-f（x+2）=f（x），有函数的周期的定义可以得到：函数f（x）的周期T=4，所以①错；
  又∵函数f（x+1）为奇函数，即函数f（x）向左平移一个单位以后关于（0，0）对称，
∴平移之前的图象应该关于（1，0）对称，故②正确；
∵f（x+2）=-f（x）且f（x+1）=y为奇函数，
∴

f(x+2)=-f(x) f(-x+1)=-f(x+1)

?

f(x+3)=-f(x+1) f(-x+1)=-f(x+1)

?f（x+3）=f（-x+1）?函数f（x）有对称轴x=2，所以③正确；
对于⑤由于f（1）=0，所以f（2011）=f（502×4+3）=f（3）=-f（1）=0，故⑤正确．
故选B

点评：此题考查了函数的周期定义及利用定义求函数的周期，还考查了函数的对称及与图象的平移变换，还考查了复合函数的奇函数的定义式．