Question

本题满分14分) 设函数在上的导函数为，在上的导函数为．若在上，有恒成立，则称函数在
上为“凸函数”．已知．
(Ⅰ) 若为区间上的“凸函数”，试确定实数的值；
(Ⅱ) 若当实数满足时，函数在上总为“凸函数”，求的最大值．

Answer 1

解：由函数得， （3分）
(Ⅰ) 若为区间上的“凸函数”，则有在区间上恒成立，由二次函数的图像，当且仅当
，
即．                                     （7分）
(Ⅱ)当时，恒成立当时，恒成立．                                                    （8分）
当时，显然成立                      （9分）
当，∵的最小值是．∴．
从而解得                                        （11分）
当，∵的最大值是，∴，
从而解得．  
综上可得，从而             （14分）

略