Question

8．求极限：$\underset{lim}{x→a}$$\frac{x}{x-a}$${∫}_{a}^{x}$f（t）dt，其中f（x）连续．

Answer 1

分析 设F（x）为f（x）的原函数，即F'（x）=f（x），再根据定积分和导数定义对该式化简，进而得出结果．

解答 解：设F（x）为f（x）的原函数，即F'（x）=f（x），
所以，${∫}_{a}^{x}$f（t）dt=F（x）-F（a），因此，
原式=$\underset{lim}{x→a}$[$\frac{x}{x-a}$（F（x）-F（a））]dt
=$\underset{lim}{x→a}$[x•$\frac{F（x）-F（a）}{x-a}$]
=$\underset{lim}{x→a}$x•$\underset{lim}{x→a}$$\frac{F（x）-F（a）}{x-a}$
=a•F'（a）
=af（a），
即$\underset{lim}{x→a}$[$\frac{x}{x-a}$${∫}_{a}^{x}$f（t）dt]=af（a）．

点评 本题主要考查了极限及其运算，涉及定积分的运算和导数的概念，属于中档题．